बहुपद (Polynomials) Class 10th Math Chapter-2 Free Study Notes Hindi Medium

बहुपद ( Polynomials ):– चर x में एक ऐसा बीजीय व्यंजक , जिसमें x के केवल अऋणात्मक घात हो बहुपद कहलाता है !

या ,

a₀ + a₁x + a₂x² + ………….+a_nxⁿ के रूप का कोई कोई बीजीय व्यंजक , जहाँ a_n ≠ 0 तथा n एक पूर्ण संख्या है , n घात वाला बहुपद कहलाता है ,

जहाँ :-  a₀ , a₁ , a₂ , ……., a_n को बहुपद का गुणांक(Coefficients) कहते है !

बहुपद का घात ( Degree of Polynomials ):– किसी बहुपद में सबसे बड़े घात वाले पद के घातांक को उस बहुपद का घात कहते है !

जैसे :–  i. बहुपद 3x³ + 4x² +5x — 4 का घात = 3

          ii. बहुपद  x⁴ + 6x — 3 का घात = 4

बहुपद का मानक रूप ( Standard form of Polynomial ):– बहुपद के पदों को चर के घातों को आरोही या अवरोही क्रम में सजाने पर प्राप्त बहुपद को बहुपद का मानक रूप कहते है !

जैसे :–i. बहुपद 4x²  +  5x + 3x³ — 4 का मानक रूप = 3x³ + 4x² +5x — 4

          ii. बहुपद  6x — 3 + x⁴  का मानक रूप = x⁴ + 6x — 3

बहुपदों का वर्गीकरण ( Classification of polynomials ):– 

पदों के अनुसार बहुपद के निम्नलिखित प्रकार होते है:–

1. एकपदी बहुपद ( Monomial ):– एक पद वाले बहुपद को एकपदी बहुपद कहते हैं

जैसे:–  3x² , 4 , 4x³ , 5x

2. द्विपदी बहुपद ( Binomial ):– दो पद वाले बहुपद को द्विपदी बहुपद कहते हैं |

जैसे;–  5x — 4 , 3x³ + 2x

3. त्रिपदी बहुपद ( Trinomial ) – तीन पद वाले बहुपद को त्रिपदी बहुपद कहते हैं |

जैसे:–    x² — 4x + 3 ,  2x³ + 3x — 5

शून्य बहुपद ( Zero polynomials ):– जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य हों , उसे शून्य बहुपद कहते हैं |

जैसे – 0. x³ + 0. x – 0 ,  0. x² + 0. x – 0

अचर बहुपद ( Constant polynomial ):– जिस बहुपद में एक पद है और वह पद वास्तविक संख्या हो , तो उसे अचर पद कहते हैं |

जैसे:– p(x )= 2 , p(x )=√3 

नोट – शून्य बहुपद का घात अपरिभाषित होता है

बहुपद के प्रकार :–

1. रैखिक या एक घातीय बहुपद ( Linear polynomials ):– एक  घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं |

जैसे:–   5x — 4 , 3x + 7

रैखिक बहुपद का व्यापक या सामान्य रूप p(x) = ax +b , जहाँ  a, b ∈ R तथा a ≠ 0  होता है | 

रैखिक बहुपद के शून्यकों या हलों की संख्या 1 होता है

2. द्विघात या द्विघातीय बहुपद ( Quadratic polynomials ):– दो घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं |

जैसे:–  7x² + 3x , 3x² — 4x + 9

द्विघात बहुपद का व्यापक या सामान्य रूप p(x) = ax² +bx + c , जहाँ  a,b, c ∈ R तथा a  ≠ 0  होता है | 

द्विघात बहुपद के शून्यकों या हलों की संख्या 2 होता है

3. त्रिघात या त्रिघातीय बहुपद ( Cubic polynomials ):– तीन घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं |

जैसे:– x³ + x — 5 , 3x³ + 2x² — 4x —5

त्रिघात बहुपद का व्यापक या सामान्य रूप p(x) = ax³ +bx² + cx + d , जहाँ  a,b ,c , d ∈ R  तथा a ≠ 0  होता है | 

त्रिघात बहुपद के शून्यकों या हलों की संख्या 3 होता है

बहुपद का मान  ( Value of polynomial )– जब बहुपद में चरों  का विशेष मान रखा जाता है ,तो बहुपद का मान मिलता  है

बहुपद के शून्यक (Zero of a polynomials )– बहुपद के  चर का वह विशेष मान जो बहुपद का मान 0 के बराबर कर दे, बहुपद का शून्यक कहलाता है

i. P(x) = x² + 2x+ 3

x=1

P(1) = (1)² + 2 × 1+ 3

P(1) = 1 + 2 + 3

P(1) = 6

P(1) = 6 , यहाँ P(1) , x=1 पर बहुपद का मान है

ii. P(x) = x² + 4x + 4  

x =  —2

 P(—2) = (—2)² + 4 × (—2) + 4

P(—2) = 4 —8 + 4

P(—2) = 8 — 8

P(—2) = 0

अतः x = —2 बहुपद P(x) का शून्यक है

1. रैखिक बहुपद का एक शून्यक होते हैं |
2. द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं |
3. त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शुन्यक होते हैं |
4. शुन्य बहुपद का शून्यक प्रत्येक वास्तविक संख्या होता  है |

बहुपद के महत्वपूर्ण सूत्र:-

1. रैखिक बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध ( Relation between zeroes and coefficients of a linear polynomials )

 ax + b, जहाँ  a,b ∈ R तथा a ≠ 0 , एक रैखिक बहुपद जिसका शुन्यक α है |

2. द्विघात बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध ( Relation between zeroes and coefficients of a quadratic polynomials )

p(x) = ax² + bx + c , जहाँ  a, b, c ∈ R तथा a  ≠ 0 , एक द्विघात बहुपद जिसके शुन्यक α तथा β हैं

यदि α तथा β किसी द्विघात बहुपद के शुन्यक है , तो

द्विघात बहुपद P(x) = k[ x² – (α + β)x + αβ ] , जहाँ k अचर पद है !

3. त्रिघात बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध ( Relation between zeroes and coefficients of a cubic polynomials )

p(x) = ax³ + bx² + cx + d , जहाँ  a, b, c, d ∈ R तथा a ≠ 0 , एक त्रिघात बहुपद  है जिसके शुन्यक α , β तथा γ  हैं | 

यदि α , β तथा γ किसी त्रिघात  बहुपद के शुन्यक है , तो

त्रिघात बहुपद P(x)= k[ x³ –(α + β + γ)x²  + (αβ + βγ + γα) – αβγ ] , जहाँ k अचर पद है !

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म ( Division algorithm for polynomials )– यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं , जहाँ g(x)≠0 , तो हम ऐसे दो बहुपद q(x) और r(x) प्राप्त कर सकते हैं कि p(x)= g(x) × q(x) + r(x) , जहाँ r(x)= 0 है या r(x) का घात < g(x) का घात है

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