द्विघात समीकरण(Quadratic Equation)-:
यदि a,b,c वास्तविक संख्याएँ(Real numbers) हों और a ≠ 0 तो ax2 +bx + c= 0 के रूप का कोई भी समीकरण ,चर(Variable) x में द्विघात
समीकरण(Quadratic Equation) या वर्ग समीकरण कहलाता है !
a,b तथा c क्रमशः x2 का गुणांक, x का गुणांक (Coefficient) तथा अचर(Constant) है !
द्विघात समीकरण के मूल (Roots of quadratic equation):-
x का वह वास्तविक मान(Real Value) जो द्विघात समीकरण(Quadratic equation) ax2 +bx + c= 0 को संतुष्ट करें द्विघात समीकरण (Quadratic equation) का मूल कहलाता है!
eg:- x = -1 , द्विघात समीकरण x2+2x+1=0 का एक मूल है :
द्विघात समीकरण हल करने की विधि (Method of solution for quadratic equations):-
द्विघात समीकरण को तीन विधि से हल कर सकते हैं
- गुणनखंड विधि द्वरा (By factorisation method)
- पूर्ण वर्ग विधि द्वरा(By completing method)
- द्विघात सूत्र विधि द्वरा(By quadratic formula method)
द्विघात समीकरण का विवेचक/विविक्तकर(Discriminant of quadratic equation):-
किसी द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0 में , b2 – 4ac को द्विघात समीकरण का विवेचक/विविक्तकर कहते हैं तथा इसे D से सूचित किया जाता है! , D = b2 – 4ac
द्विघात समीकरण सूत्र :-
मूलों की प्रकृति(Nature of roots):-
विवेचक/विविक्तकर(D)
Here D = b2 – 4ac
(i). यदि D > 0 हो, तो :-
मूलों की प्रकृति–वास्तविक और असमान या दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं
(ii). यदि D = 0 हो, तो :-
मूलों की प्रकृति–वास्तविक और समान या दो समान(बराबर) वास्तविक मूल होते हैं
(iii). यदि D < 0 हो, तो :-
मूलों की प्रकृति–अवास्तविक तथा असमान या कोई वास्तविक मूल नहीं होगा है , मूल का मान
संभव नहीं है :
बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म ( Division algorithm for polynomials )–
यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं , जहाँ g(x)≠0 , तो हम ऐसे दो बहुपद q(x) और r(x) प्राप्त कर सकते हैं कि p(x)= g(x) × q(x) + r(x) , जहाँ r(x)= 0 है या r(x) का घात < g(x) का घात है
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