Class 10th गणित(Mathematics) में आने वाले फाइनल मैट्रिक बोर्ड परीक्षा के लिए द्विघात समीकरण (Quadratic equation) के सभी वायरल और इंपोर्टेन्ट सूत्र(Formula), और टॉपिक वाइज सभी V.V.I सब्जेक्टिव प्रश्नों को शामिल किया गया है , ताकि किसी भी Students को फाइनल मैट्रिक बोर्ड परीक्षा में द्विघात समीकरण (Quadratic equation) चैप्टर से एक भी प्रश्न नहीं छूटे अगर आप मैट्रिक बोर्ड परीक्षा में 400+ अंक प्राप्त करना कहते हैं , तो द्विघात समीकरण (Quadratic equation) चैप्टर के सारे महत्वपूर्ण प्रश्नों को बार -बार practics जरूर करें!

▶️ द्विघात समीकरण (Quadratic equation):- यदि a, b, c वास्तविक संख्याएँ (Real numbers) हों और a ≠ 0 तो a𝑥² + b𝑥 + c = 0 के रूप का कोई भी समीकरण, चर (Variable) 𝑥 में द्विघात समीकरण (Quadratic equation) या वर्ग समीकरण कहलाता है a, b तथा c क्रमशः 𝑥² का गुणांक, 𝑥 का गुणांक (Coefficient) तथा अचर (Constant) है: ▶️ द्विघात समीकरण के मूल (Roots of quadratic equation):- 𝑥 का वह वास्तविक मान (Real Value) जो द्विघात समीकरण (Quadratic equation) a𝑥² + b𝑥 + c = 0 को संतुष्ट करें द्विघात समीकरण (Quadratic equation) का मूल कहलाता है eg:- 𝑥 =  –1, द्विघात समीकरण 𝑥² + 2𝑥 + 1 = 0 का एक मूल है ▶️ द्विघात समीकरणों हल करने की विधि (Method of solution for quadratic equations):- द्विघात समीकरणों को तीन विधि से हल कर सकते हैं 1. गुणनखंडन विधि द्वारा (By factorisation method) 2. पूर्ण वर्ग विधि द्वारा (By completing method) 3. द्विघात सुत्र विधि द्वारा (By quadratic formula method) ▶️ द्विघात समीकरण का विवेचक/विवेक्तर (Discriminant of quadratic equation) किसी द्विघात समीकरण a𝑥²+ b𝑥 + c = 0 में, b²– 4ac को द्विघात समीकरण का विवेचक/विवेक्तर कहते हैं तथा इसे D से सूचित किया जाता है विवेचक/विवेक्तर(D) = b² – 4ac  द्विघात समीकरण (Quadratic equation) 𝑥 =    or    ▶️ मूलों की प्रकृति (Nature of roots):- विवेचक या विवेक्तर (D) here D = b² – 4ac  (i). यदि D > 0 हो, तो मूल की प्रकृति – वास्तविक और असमान या दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं (मूल/हल/शून्यक)/ 𝑥 =        ,     α =       तथा       β =  (ii). यदि D = 0 हो, तो मूल की प्रकृति – वास्तविक तथा समान या दो समान(बराबर) वास्तविक मूल होते हैं (मूल/हल/शून्यक)/ 𝑥 =    ,      ,   α =  तथा  β =       ,       α = β   (iii). यदि D < 0 हो, तो मूल की प्रकृति – अवास्तविक तथा असमान या कोई वास्तविक मूल नहीं होता है, मूल का मान संभव नहीं है ▶️ पाइथागोरस फार्मूला कर्ण² = लम्ब² + आधार² कर्ण = लम्ब² = कर्ण²– आधार²   लम्ब = आधार² = कर्ण²– लम्ब²   आधार = ▶️ समय , दूरी तथा चाल से संबंधित सूत्र दूरी = चाल × समय     चाल =    समय =

▶️ गुणनखण्ड विधि द्वारा समीकरण का हल निकालने पर आधीरित प्रश्न(Type – 1) 1. द्विघात समीकरण 3𝑥² – 𝑥 – 2 = 0 को गुणनखण्ड विधि से हल करें।[2019AII] 2. गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण 𝑥² – 3𝑥 – 10 = 0 के मूल ज्ञात करें। [2016A] 3. गुणनखण्ड द्वारा समीकरण 2𝑥² – 5𝑥 + 3 = 0 का मूल ज्ञात कीजिए।[2011A] 4. गुणनखण्ड के द्वारा द्विघात समीकरण 4𝑥² – 12𝑥 + 9 = 0 के मूल निकालें।[2022AII]   ▶️ ऊपर के 1 से 4 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. 𝑥 = 1 , 02. 𝑥 = 5 , –2 03. 𝑥 = 1 , 04. 𝑥 = , ▶️ द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण का हल निकालें पर आधीरित प्रश्न(Type – 2) 1. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 6𝑥² +17𝑥 + 12 = 0 के मूल ज्ञात करें।[2023AI] 2. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 𝑥² – 4𝑥 – 1 = 0 का हल निकालें। [2020AI] 3. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 3𝑥² – 4𝑥 – 1 = 0 का हल निकालें। [2020AII, 2020AII] 4. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 𝑥² – 3𝑥 – 10 = 0 का हल निकालें।[2019AI] 5. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 2𝑥² – 2𝑥 – 1 = 0 के मूल ज्ञात करें।   ▶️ ऊपर के 1 से 5 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. 𝑥 = , 02. 𝑥 = 2 + , 2 – 03. 𝑥 = or , 04. 𝑥 = 5 , –2 05. 𝑥 = , ▶️ द्विघात समीकरण के मूलों(शूनयकों) का योग तथा गुणनफल ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न(Type – 3) 1. a𝑥² – b𝑥 + c = 0 के मूलों का योग होगा।[2017C, 2016A] 2. द्विघात समीकरण 𝑥² + 8𝑥 + 4 = 0 के मूलों के योगफल एवं गुणनफल ज्ञात करें।[2014AI] 3. द्विघात समीकरण 𝑥² – 6𝑥 + 2 = 0 के मूलों का योगफल एवं गुणनफल ज्ञात करें।[2014AI] 4. द्विघात समीकरण  𝑥² – 10𝑥 –  = 0 के मूलों के योगफल तथा गुणनफल ज्ञात करें।[2014C]  5. द्विघात समीकरण 𝑥² – 𝑥 + 3 = 0 के मूलों के योगफल एवं गुणनफल ज्ञात करें।[2026AI] ▶️ ऊपर के 1 से 4 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है मूलों के योग(योगफल) को (α + β) तथा गुनफल को (α×β) लिखते हैं 01. α + β = 02. α + β = , α×β = 4 03. α + β = , α×β = 2 04. α + β = , α×β = –1 05. α + β = 1 , α×β = 3 ▶️ द्विघात समीकरण का मूल (हल) निकालने पर आधारित प्रश्न (Type – 4) 1. द्विघात समीकरण 𝑥² + 7𝑥 + 10 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। [2017AI] 2. समीकरण 2𝑥² – 3𝑥 – 5 = 0 के मूल ज्ञात करें।[2023AII] 3. द्विघात समीकरण 2𝑥² – 2𝑥 + 1 = 0 के मूल ज्ञात करें। [2022AII] 4. द्विघात समीकरण 𝑥² – 2 𝑥 + 1 = 0 के मूल ज्ञात करें। [2016AI, 2022AI] 5. द्विघात समीकरण 2𝑥² + 𝑥 – 6 = 0 के मूल ज्ञात करें। [2017C] 6. समीकरण 𝑥 +  = 3, 𝑥 ≠ 0 के मूलों को ज्ञात करें। [2024AI] 7. समीकरण 𝑥 –  = 3, 𝑥 ≠ 0, 2 के मूलों को ज्ञात करें। [2024AII] 8. हल करें : (𝑥 + 4) (𝑥 – 4) = 20    [2023AII] 9. 13 – 𝑥 ² = (𝑥 + 5)² को हल करें।[2017AI] 10. हल करें = 𝑥 + 5 [2015AI, 2022AI] 11. 𝑥² = 9 का हल समुच्चय लिखें।[2012A] 12. दिखाएँ कि 𝑥 = – 3 समीकरण 2𝑥² + 5𝑥 – 3 = 0 का एक हल है। [2023AII]   ▶️ ऊपर के 1 से 12 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. 𝑥 = –2 , –5 02. 𝑥 = –1 , 03. 𝑥 = , 04. 𝑥 = + 1 , – 1 05. 𝑥 = , – 2 06. 𝑥 = , 07. 𝑥 = , 08. 𝑥 = 6 , – 6 09. 𝑥 = –2 , – 3 10. 𝑥 = –2 , – 3 11. 𝑥 = 3 , – 3 12. समीकरण मे 𝑥 = – 3 रखने पर 2𝑥² + 5𝑥 – 3 = 0 2(– 3)² + 5 ×– 3 – 3 = 0 2×9 – 15 – 3 = 0 18 – 15 – 3 = 0 18 – 18 = 0 = 0 LHS = RHS Proved ▶️ मूलों की प्रकृति और विवेचक ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न (Type –5) 1. द्विघात समीकरण 2𝑥² – 4𝑥 + 3 = 0 के विवेचक ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति भी बताएँ।[2023AI] 2. मूलों की प्रकृति बताइए यदि द्विघात समीकरण 2𝑥² – 6𝑥 + 3 = 0 है। [2015AI] 3. द्विघात समीकरण 3𝑥² – 4𝑥 + 4 = 0  के मूलों की प्रकृति ज्ञात करें। [2023AI] 4. द्विघात समीकरण 4𝑥² – 5𝑥 + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। [2014AI] 5. द्विघात समीकरण 9𝑥² – 6𝑥 + 1 = 0 के विवेचक ज्ञात करें एवं फिर मूलों की प्रकृति बताएँ।[2024AI] 6. द्विघात समीकरण 5𝑥² – 8𝑥 + 3 = 0  का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।[2014AI] 7. द्विघात समीकरण 𝑥²– 𝑥 –  = 0 के विवेचक ज्ञात करें एवं फिर मूलों की प्रकृति बताएँ।[2024AII] 8. द्विघात समीकरण 2𝑥² + 5𝑥 – 3 = 0 के विवेचक ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति भी ज्ञात करें।[2025AI] 9. द्विघात समीकरण 𝑥² + 7𝑥 + 5 = 0 के विवेचक ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति भी ज्ञात करें।[2025AII] 10. b𝑥² + b𝑥 – c = 0 का विवेचक  होगा। [2016C] 11. द्विघात समीकरण 5𝑥² – 4𝑥 + 2 = 0 का विवेचक ज्ञात करें।[2012A] 12. यदि किसी द्विघात समीकरण के विवेचक शून्य हों तो दोनों मूल…….. होंगे। [2016A1] 13. द्विघात समीकरण के मूलों के वास्तविक एवं समान होने के लिए शर्तों को लिखें। [2017AII]   ▶️ ऊपर के 1 से 13 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. D = – 8 , मूलों की प्रकृति काल्पनिक(अवास्तविक) 02. D = 12 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और भिन्न(असमान) 03. D = 0 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और बराबर(समान) 04. D = – 23 , मूलों की प्रकृति काल्पनिक(अवास्तविक) 05. D = 0 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और बराबर(समान) 06. D = 4 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और भिन्न(असमान) 07. D = 9 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और भिन्न(असमान) 08. D = 49 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और भिन्न(असमान) 09. D = 9 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और भिन्न(असमान) 10. D = b² + 4bc Or b(b + 4c) 11. D = – 24 , मूलों की प्रकृति काल्पनिक(अवास्तविक) 12. D = 0 , मूलों की प्रकृति वास्तविक और बराबर(समान) 13. D = 0 Or D = b² – 4ac ▶️ K का मान ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न (Type –6) 1. k का मान ज्ञात करें जिसके लिए 2𝑥² + k𝑥 + 3 = 0 के दोनों मूल वास्तविक और समान हों।[2023AII] 2. k के किस मान के लिए मूल वास्तविक एवं समान होंगे, जिसके लिए द्विघात समीकरण 2𝑥² + k𝑥 + 3 = 0 है?[2015AI, 2024AII] 3. k के किन मानों के लिए द्विघात समीकरण (k + 1)𝑥²– 2(k – 1)𝑥 + 1 = 0 के मूल बराबर होंगे?[2024AI] 4. k के किस मान के लिए समीकरण k𝑥(𝑥 – 2) + 6 = 0 के मूल बराबर होंगे?   ▶️ ऊपर के 1 से 4 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. k = ±2 02. k = ±2 03. k = 0, 3 04. k = 6 ▶️ Miscellaneous Questions (Type –7) लघु उत्तरीय प्रश्न 1. यदि दो लगातार प्राकृत संख्याओं का गुणनफल 20 है, तो उन संख्याओं को ज्ञात करें।[2019AI] 2. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो तो अन्य दो भुजाओं का मान ज्ञात करें। [2017AI, 2022AII] 3. किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग   है। संख्या ज्ञात करें।[2015AII, 2022A1] 4. दो संख्याओं का अंतर 4 है तथा उनके व्युत्क्रमों का अंतर  है। संख्याएँ 21 -ज्ञात करें।[2020AII] 5. 51 को ऐसे दो भागों में विभक्त करें जिसका गुणनखण्ड 650 हो। [2015C] 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।[2013A] 7. दो लगातार धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करें जिनके वर्गों का योगफल 365 है।[2022AII, 2025AI] 8. दो धनात्मक संख्याओं का अंतर 3 है तथा उनका गुणनफल 504 है। संख्याएँ ज्ञात करें।[2023AII, 2025AII] ▶️ ऊपर के 1 से 8 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. संखयाऍं = 4 , 5 02. आधार = 12 cm , ऊँचाई = 5 cm 03. 𝑥 = 3 , 04. संखयाऍं = 3 , 7 05. भाग = 25 , 26 06. छोटी भुजा = 45 मी० , बड़ी भुजा = 75 मी० 07. संखयाऍं = 14 , 13 08. धनात्मक संखयाऍं = 24 , 21 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 1. एक आयत का क्षेत्रफल 528 मीटर² है। उसकी लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 1m अधिक है। आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करें। [2023AI] 2. 50 को दो भागों में इस प्रकार बाँटें कि उनके व्युत्क्रमों का योग  हो। [2023AII] 3. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक हो तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करें।[2019AI] 4. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10km/h अधिक तेज चलती तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि 10km/h धीमी चलती तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें।[2018AII, 2020AI] 5. एक ट्रेन एक नियत दूरी को एक समान गति से तय करती है। यदि ट्रेन की गति 10 किमी/घंटा अधिक होती तो यह दूरी नियत समय से 2 घंटा पहले पूरी हो जाती, परंतु यदि ट्रेन की गति 10 किमी/घंटा कम होती तो यह दूरी नियत समय से 3 घंटा अधिक में पूरी होती। ट्रेन द्वारा तय की गयी दूरी की गणना करें।[2018AI] 6. दो संख्याओं के वर्गों के अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का 8 गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात करें।[2013C, 2022AI] 7. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 मी² है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।[2011A] * द्विघात समीकरण a𝑥² + b𝑥 + c = 0 जहाँ a, b तथा c वास्तविक संख्याऍं हैं तथा a ≠ 0 तो सिद्ध करें कि 𝑥 = [2026AI] ▶️ ऊपर के 1 से 7 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. चौड़ाई = 16 m , लंबाई = 33 m 02. भाग = 20 , 30 03. रेलगाड़ी की चाल = 40km/h 04. रेलगाड़ी की चाल = 30km/h , दूरी = 150 km 05. दूरी = 150 km 06. छोटी संख्या = 4 , बड़ी संख्या = 6 07. भुजाऍं = 12 , 18

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