Class 10th गणित(Mathematics) में आने वाले फाइनल मैट्रिक बोर्ड परीक्षा के लिए बहुपद (Polynomial) के सभी वायरल और इंपोर्टेन्ट सूत्र(Formula), और टॉपिक वाइज सभी VVI सब्जेक्टिव प्रश्नों को शामिल किया गया है , ताकि किसी भी Students को फाइनल मैट्रिक बोर्ड परीक्षा में बहुपद (Polynomial) चैप्टर से एक भी प्रश्न नहीं छूटे अगर आप मैट्रिक बोर्ड परीक्षा में 400+ अंक प्राप्त करना कहते हैं , तो बहुपद (Polynomial) चैप्टर के सारे महत्वपूर्ण प्रश्नों को बार -बार practics जरूर करें!

▶️ बहुपद(Polynomial):- aₒ + a₁𝑥 + a₂𝑥² +……… +aₙ𝑥ⁿ के रूप का कोई बीजीय व्यंजक बहुपद (Polynomial) कहलाता है:- where:- aₒ, a₁, a₂,………,aₙ वास्तविक संख्याएँ (Real numbers) हैं और aₙ ≠ 0 तथा n एक अऋणात्मक पूर्णांक (Positive integer) है:- aₒ, a₁, a₂,………,aₙ को बहुपद का गुणांक (Coefficients) कहते हैं और 𝑥 के उच्चतम घात (Highest power) n को बहुपद का घात (Power, or Index, or Degree) कहते हैं:- ⏩ बहुपद का मानक रूप (Standard form of a polynomial):- 𝑥 में बहुपद को मानक रूप कहा जाता है यदि 𝑥 के घात या तो आरोही क्रम या अवरोही क्रम (Increasing order or Decreasing order) में हों : ⏩ बहुपद के प्रकार (Types of polynomial):- एकपदी बहुपद (Monomial polynomial):-जिस बहुपद में एक ही पद रहता है एकपदी बहुपद (Monomial polynomial) उसे कहते हैं:- द्विपदी बहुपद (Binomial polynomial):-दो पद वाले बहुपद को द्विपदी बहुपद (Binomial polynomial) कहते हैं:- त्रिपदी बहुपद (Trinomial polynomial):-तीन पदों वाले बहुपद को त्रिपदी बहुपद (Trinomial polynomial) कहते हैं:- शून्य बहुपद (Zero polynomial):- जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य होते हैं उसे शून्य बहुपद (Zero polynomial) कहा जाता है, P(𝑥) = 0, घात अपरिभाषित होता है:- अचर बहुपद (Constant polynomial):-जिस बहुपद में सिर्फ एक ही पद हो और जो किसी वास्तविक संख्या (Real number) के बराबर हो, उसे अचर बहुपद (Constant polynomial) कहते हैं: ⏩बहुपद का घात (Power/Degree of Polynomial) 1. रैखिक (एक घातीय) बहुपद (Linear Polynomial):– जिस बहुपद का अधिकतम घात 1 हो रैखिक (एक घातीय) बहुपद (Linear Polynomial) कहलाता है । ▶️ व्यापक रूप:- a𝑥 + b, a ≠ 0 ▶️ हलों की संख्या = 1 ▶️ अधिकतम घात = 1 2. द्विघात (द्विघातीय) बहुपद(Quadratic Polynomial):- जिस बहुपद का अधिकतम घात 2 हो उसे द्विघात (द्विघातीय) बहुपद (Quadratic Polynomial) कहते हैं । ▶️ व्यापक रूप: a𝑥² + b𝑥 + c , a ≠ 0 ▶️ हलों की संख्या = 2 ▶️ अधिकतम घात = 2 3. त्रिघात/त्रिघातीय बहुपद(Cubic Polynomial):- जिस बहुपद का अधिकत्म घात तीन (3) हो उसे त्रिघात/त्रिघातीय बहुपद (Cubic Polynomial) कहते हैं :- ▶️ व्यापक रूप:- a𝑥³ + b𝑥² + c𝑥 + d , a ≠ 0 ▶️ हलों की संख्या = 3 ▶️ अधिकतम घात = 3 ⏩ बहुपद का मान (Value of polynomial):- बहुपद का मान (Value of polynomial):- मान लिया कि P(𝑥), 𝑥 में एक बहुपद है और एक a वास्तविक संख्या (Real number) है:- ▶️ तब P(𝑥) में 𝑥 के स्थान पर a रखने से बहुपद का जो मान प्राप्त होता है, उसे 𝑥 = a पर बहुपद का मान कहते हैं और इसे P(a) से व्यक्त करते हैं और इसका गुणनखंड (𝑥– a) होगा :- ▶️ तब P(𝑥) में 𝑥 के स्थान पर –a रखने से बहुपद का जो मान प्राप्त होता है, उसे 𝑥 = –a पर बहुपद का मान कहते हैं और इसे P(–a) से व्यक्त करते हैं और इसका गुणनखंड (𝑥 + a) होगा :- ▶️ बहुपद के शुन्य या शुन्यक (Zero of a polynomial):-संख्या “a” बहुपद का शून्य कहलाता है यदि P(𝑥) = 0 अर्थात यदि बहुपद P(𝑥) का मान 𝑥 = a पर शून्य है:- ⏩ Note:- (i) रैखिक बहुपद में अधिकतम शुन्यकों की संख्या 1 होगी (ii) द्विघात बहुपद में अधिकतम शुन्यकों की संख्या 2 होगी (iii) त्रिघात बहुपद में अधिकतम शुन्यकों की संख्या 3 होगी ⏩ द्विघात बहुपद और त्रिघात बहुपद के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र ⏩ द्विघात बहुपद के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र ▶️ व्यापक रूप: a𝑥² + b𝑥 + c , a ≠ 0 ▶️ मूलों का योगफल (α + β) = ▶️ मूलों का गुणनफल (α·β) = ▶️ द्विघात बहुपद = k[𝑥² – (α + β)𝑥 + α·β] ⏩ त्रिघात बहुपद के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र ▶️ व्यापक रूप:- a𝑥³ + b𝑥² + c𝑥 + d , a ≠ 0 ▶️ मूलों का योग (α + β + γ) = ▶️ दो-दो कर गुणनफल के मूलों का योग (α·β + β·γ+ γα) = ▶️मूलों का गुणनफल (α·β·γ) = ▶️ त्रिघात बहुपद = 𝑥³ — (α + β + γ)𝑥² + (α·β + β·γ + γ·α)𝑥 — αβγ ⏩Some Important Algebric Formula:- ▶️ a² + b² = (a + b)² — 2ab ▶️ a² + b² = (a — b)² + 2ab ▶️ (a + b)² or (a + b)(a + b) = a² + b² + 2ab ▶️ (a — b)² or (a — b)(a — b) = a² + b² — 2ab ▶️ a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²) ▶️ a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)

लघु उत्तरीय प्रश्न ⏩ बहुपद के विभाजन एल्गोरिथ्म पर आधीरित प्रश्न 1. A(𝑥) = 3𝑥³+ 𝑥² + 2𝑥 + 5 में B(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1 से भाग देने पर भागफल क्या होगा? [2023AI] 2. बहुपद 𝑥⁴ – 2𝑥³ – 𝑥² + 2 में बहुपद 𝑥²–3 𝑥 + 2 से भाग दें। [2024AI] 3. बहुपद 2𝑥⁴ + 3𝑥³ – 2𝑥² – 9𝑥 – 12 में बहुपद 𝑥² –3 से भाग दें। [2024AI] 4. 𝑥³ + 1 को 𝑥 + 1 से भाग कीजिए।[2025AI] 5. 2𝑥² + 3𝑥 + 1 को 𝑥 + 2 से भाग कीजिए।[2025AII] ▶️ 1 से 5 का उत्तर नीचे है 01. भागफल = 3𝑥 – 5 ——-शेषफल = 9𝑥 + 10 02. भागफल = 𝑥² + 𝑥 – 1 ——-शेषफल = 3𝑥 + 4 03. भागफल = 2𝑥² + 3𝑥 + 4 ——-शेषफल = 0 04. भागफल = 𝑥² – 𝑥 + 1 ——-शेषफल = 0 05. भागफल = 2𝑥 – 3 ——-शेषफल = 3 ⏩ बहुपद का शून्यक ज्ञात करना तथा शून्यकों एवं गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच पर आधारित प्रश्न 1. बहुपद 6𝑥² – 3 –7𝑥 के शून्यक ज्ञात करें तथा इसके शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच करें।[2020AI] 2. बहुपद f(𝑥) = 𝑥³ – p𝑥² + q𝑥 के दो शून्यकों का जोड़ शून्य होने की शर्त की गणना करें। (बहुपद में गुणांकों के बीच)   [2018A] 3. द्विघात बहुपद 𝑥² – 3 के शून्यक ज्ञात करें और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच करें।[2024A] 4. द्विघात बहुपद 3𝑥² + 7𝑥 + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यको तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए। [2016A] 5. द्विघात बहुपद 4𝑦² – 4𝑦 + 1 के शून्यक ज्ञात करें तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंधों को सत्यापित करें। [2023AI] 6. 4t² – 4t +1 के शून्यक ज्ञात करें एवं शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की जाँच करें।[2023AII] 7. बहुपद f(𝑥) = 𝑥² – p𝑥 + q𝑥 – r के दो शून्यांकों का जोड़ शून्य होने की शर्त की गणना (बहुपद के गुणांकों के बीच) करें।[2018AI] 8. द्विघात बहुपद 3𝑥² – 𝑥 – 4 के शून्यक ज्ञात करें और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच करें। [2024AII] ▶️ 1 से 8 तक के प्रश्नों के शून्यकों तथा उनके जाँच का उत्तर नीचे दिया गया है 01. 𝑥 = , ——–सम्बन्ध की जाँच ——–α + β = , α×β = 02. α + β + γ = P ——–दो शून्यकों का योग शून्य है (α + β) = 0 ——–γ = P 03. 𝑥 = ——–सम्बन्ध की जाँच ——–α + β = 0, α×β = – 3 04. 𝑥 = ——–सम्बन्ध की जाँच ——–α + β = , α×β = ——- 05. 𝑦 = , ——-सम्बन्ध की जाँच ——-α + β = 1 , α×β = 06. t = , ——-सम्बन्ध की जाँच ——-α + β = 1, α×β = 07. α + β = 0 ——-योग शून्य है (p – q) = 0 ——-p = q 08. 𝑥 = –1 , ——-सम्बन्ध की जाँच ——α + β = , α×β = ⏩ बहुपद का शून्यक ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न 1. बहुपद 4𝑥² – 9 का शून्यक ज्ञात कीजिए।[2016C] 2. द्विघात बहुपद 𝑥² – 2𝑥 – 8 के शून्यकों को ज्ञात कीजिए।  [2020AI, 2020AII] 3. द्विघात बहुपद 𝑥² – 5𝑥 + 6 के शून्यकों को ज्ञात करें। [2019AI] 4. बहुपद 4𝑥² – 3 के शून्यक ज्ञात करें।[2016AI] 5. यदि बहुपद 𝑥⁴ – 6𝑥³– 26𝑥² + 138𝑥 – 35 के दो शून्यक 2 ±  हो तो अन्य शून्यक ज्ञात करें।[2012AI] ▶️ 1 से 5 तक के प्रश्नों के शून्यक का उत्तर नीचे दिया गया है 01. 𝑥 = , 02. 𝑥 = 4 , – 2 03. 𝑥 = 2 , 3 04. 𝑥 = , 05. अन्य दो शून्यक(𝑥) = 7 , – 5 ⏩ मान ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न 1. यदि α, β किसी द्विघात बहुपद a𝑥² + b𝑥 + c के शून्यक हों तो α² + β² का मान ज्ञात करें। [2020AI] 2. यदि α, β किसी द्विघात बहुपद 4𝑥² – 4𝑥 + 1 के मूल हों तो   का मान ज्ञात करें।  [2019AI, 2023AI] 3. यदि बहुपद 2𝑥² – 7𝑥 + 3 का शून्यांक p तथा q हैं। p² + q² का मान ज्ञात करें। [2018AI] 4. यदि बहुपद p(𝑥) = 𝑥² + 𝑥 + 1  का शून्यक α तथा β  है तो α² + β²  का मान ज्ञात करें।[2018AI] 5. यदि α, β बहुपद p(𝑥) = 𝑥² – 7𝑥 + k के शून्यक हैं और α – β = 1 है तो k का मान निकालें।[2015AI] 6. यदि α, β बहुपद p(𝑥) = 2𝑥² – 11𝑥 + 15 के शून्यक हैं तो का  मान ज्ञात करें।[2022AII] 7. यदि द्विघात समीकरण c𝑥² – b𝑥 + a = 0 के मूल α एवं β हों तब α² + β² =?[2016AI] 8. यदि  बहुपद 𝑥² – 3(𝑥 + 1) –5 के शून्यक α, β हों तो (α + 1) (β + 1) का मान होगा:- [2022AII, 2024A] 9. यदि α एवं β द्विघात बहुपद 𝑥² – 3𝑥 + 5 के शून्यक हों, तो (α + β ) का मान होगा:- [2021AI] 10. यदि बहुपद 𝑥²+ 2𝑥 – 6 के शून्यक α, β हों तो α × β का मान है:- [2019AII] 11. यदि बहुपदp(𝑥) = 𝑥² – 2𝑥 + 5 के शून्यक a, b हों तो ab का मान है :-[2021AII] 12. यदि बहुपद p(𝑥) = 𝑥² – 3𝑥 – 4 के शून्यक α एवं β हों तो  (α + β) का मान होगा:- [2024AII] [Ans – 4] 13. यदि बहुपद p(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 – 4 के शून्यक α एवं β हों तो  का मान होगा:- [2024AI] Ans –1 14. यदि बहुपद 𝑥² + 5𝑥 + 8 के शून्यक α एवं β हों तो α² + β² + 2αβ का मान होगा:- [2024AII] [Ans- 25] 15. यदि बहुपद p(𝑥) = 3𝑥² – 𝑥 – 4 के शून्यक α और β हो तो 3α×β के मान क्या है? [2025AII] [Ans –4] 16. यदि बहुपद 3𝑥² + 4𝑥 + 2k का एक शून्यक –2 है तो k का मान ज्ञात करें।[2022AII 17. यदि बहुपद 6𝑥³ – 11𝑥² – 3𝑥 + 2 के शून्यक α, β, γ हों तो αβ + βγ + αγ का मान होगा:- [2022AII] 18. यदि बहुपद (a² + 9)𝑥² – 13𝑥 + 6a का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम है तो a का मान ज्ञात करें।[2024AII] ⏩ द्विघात और त्रिघात ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न 1. द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिनके शून्यकों के योग 4 तथा गुणनफल 3 है।[2017A 2. एक द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए जिनके शून्यकों का योग एवं गुणनफल क्रमशः 4 एवं 1 है। [2016A] 3. द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिनके शून्यांकों के योग और गुणनफल क्रमशः –3 और 2 है।[2015A] 4. एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यक  + 1 एवं  – 1 हैं। [2022AII] 5. एक त्रिघाती बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यक 3, –1 एवं 2 हैं।[2022AII 6. एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 0 और – 4 है।[2023AII] 7. किसी द्विघात बहुपद के शून्यक यदि 5 एवं –3 हैं, तो द्विघात बहुपद होगा [2021AI] 8. यदि बहुपद (a + 2)𝑥² – 3a𝑥 – 2 का एक शून्यक दूसरे का ऋणात्मक हो तो बहुपद बताएँ।[2024AI] ▶️ 1 से 8 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. 𝑥² – 4𝑥 + 3 02. 𝑥² – 4𝑥 + 1 03. 𝑥² + 3𝑥 + 2 04. 𝑥² – 2𝑥 + 2 05. 𝑥³ – 4𝑥² + 𝑥 + 6 06. 𝑥² – 4 07. 𝑥² – 2𝑥 – 15 08. 2𝑥² – 2 ⏩ मूलों(शूनयकों) का योग तथा गुणनफल ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न 1. द्विघात बहुपदं 2𝑥² – 8𝑥 + 6 के शून्यांको का योग एवं गुणनफल ज्ञात करें।[2017AII] 2. द्विघात समीकरण –3𝑥² + 4𝑥 + 5 = 0 के मूलों का योग कितना होगा?[2013A] 3. a𝑥² – b𝑥 + c = 0 के मूलों का योग होगा।[2017C, 2016A] 4. बहुपद 6𝑥² – 11𝑥 + 3 के शून्यकों का योग होगा :- [2021AI] 5. बहुपद 5𝑦²– 14𝑦 + 8 के शून्यकों का योग होगा:- [2021AII] 6. बहुपद 2 – 𝑥(𝑥 – 1) के शून्यकों का गुणनफल है:- [2020AII] 7. द्विघात बहुपद 𝑥² + 3𝑥 – 4 के शून्यकों का गुणनफल है:- [2025AII] [Ans – 4] ▶️ 1 से 7 तक के प्रश्नों का उत्तर नीचे दिया गया है 01. α + β = 4 , α×β = 3 02. α + β = 03. α + β = 04. α + β = 05. α + β = 06. α×β = – 2 07. α×β = – 4

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