⏩युक्लिड भाग लेमा या भाग एल्गोरिथ्म (Euclid’s division lemma or algorithm)

a = bq + r जहाँ, 0 ≤ r < b या r≥0, b>r [MVVI]
a = भाज्य (Dividend)
b= भाजक (Divisor)
q = भागफल (Quotient)
r = शेषफल (Remainder)
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
a = bq + r , जहाँ, 0 ≤ r < b या r≥0, b>r

⏩संख्याओं से संबंधित जानकारियाँ जो मैट्रिक बोर्ड परीक्षा के लिए बहुत जरूरी है

▶️सबसे छोटा विषम संख्या (Odd Number) =1 , [1, 3, 5, 7, 9,…………]
▶️सबसे छोटा सम संख्या (Even Number) = 2 ,[2, 4, 6, 8, 10,…………]
▶️सबसे छोटा प्राकृत संख्या (Natural Number) = 1 , [1, 2, 3, 4, 5, 6,……….]
▶️सबसे छोटा पूर्ण (Whole) संख्या (Number) = 0 ,[0, 1, 2, 3, 4,…………]
▶️सबसे छोटा अभाज्य संख्या (Prime Number) = 2 ,[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,……..]
▶️सबसे छोटा भाज्य संख्या (Composite Number) = 4 , [4, 6, 8, 9, 10,……….]
▶️सबसे छोटा सम और अभाज्य संख्या (Number) = 2
▶️सबसे छोटा विषम और भाज्य संख्या (Number) = 9
Note :- सभी प्राकृत संख्या पूर्ण संख्या होती है, लेकिन सभी पूर्ण संख्या प्राकृत संख्या नहीं होती है |
▶️दो लगातार (क्रमिक) विषम संख्याओं का म०स० (H.C.F) 1 होता है |
▶️दो लगातार (क्रमिक) प्राकृत संख्याओं का म०स० (H.C.F) 1 होता है |
▶️दो लगातार (क्रमिक) अभाज्य संख्याओं का म०स० (H.C.F) 1 होता है |
▶️दो लगातार सम संख्याओं का म०स० (H.C.F) 2 होता है
▶️एक अशून्य परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होगा
▶️यदि p एक धनात्मक पूर्णांक है तो धनात्मक [2p, 2p + 2, 2p + 4, 2p + 6,………..] सम पूर्णांक का रूप है
▶️किसी धनात्मक पूर्णांक q के लिए प्रत्येक धनात्मक [4q + 1, 4q + 3, 4q + 5, 4q + 7,………..] विषम पूर्णांक का रूप होता है:- Note:- 1 न तो अभाज्य (रूढ़) संख्या है और न ही भाज्य (यौगिक) संख्या है
▶️साह-अभाज्य संख्या (Co-prime Number):- जब दो संख्याओं का म०स० (H.C.F) 1 हो तो वह दोनों संख्या एक दुसरे का सह अभाज्य संख्या कहलाता है
eg: (16, 9), (5, 4), (10, 11), (2, 5) ,…………………e.t.c
▶️भाज्य (यौगिक) संख्या (Composite Number): जिस संख्या का दो से अधिक गुणनखंडन हो उसे भाज्य संख्या कहते है
or जो संख्या एक से, स्वंय से तथा किसी अन्य संख्या से भी कटे उसे भाज्य (यौगिक) संख्या कहते है
eg: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …………………………e.t.c
▶️अभाज्य (रूढ़) संख्या (Prime Number):- जिस संख्या का केवल दो ही गुणनखंडन हो, उसे अभाज्य (रूढ़) संख्या कहते हैं
or जो संख्या एक और स्वयं से कटे तथा किसी अन्य संख्या से नहीं कटे उसे अभाज्य (रूढ़) संख्या कहते है
eg: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ………………………………..e.t.c
▶️परिमेय संख्या (Rational Number)-: जो संख्या $\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}$ के रूप में हो या जिनका दशमलव (Decimal) प्रसार सांत आवर्ती (Terminating) या असांत आवर्ती (Non-Terminating) हो उसे परिमेय संख्या कहते हैं : जहाँ-: q ≠ 0
जैसे-: –9, –4, –3, $\sqrt{\mathbf{4}},\sqrt{\mathbf{9}},\sqrt{\mathbf{16}}$ , 0, 1, 5 ,…………e.t.c

▶️अपरिमेय संख्या (Irrational Number)-: जो संख्या $\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}$ रूप में नहीं लिखा जा सके या जिनका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती हो अपरिमेय संख्या कहलाता हैं|
जैसे:- π, $\sqrt{\mathbf{2}},\sqrt{\mathbf{3}},\sqrt{\mathbf{5}}$,…………e.t.c
▶️$\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}$ का दशमलव प्रसार सांत होगा यदि भिन्न का हर q = 2ᵐ × 5ⁿ
▶️$\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}$ का दशमलव प्रसार असांत होगा यदि भिन्न का हर q ≠ 2ᵐ × 5ⁿ

⏩ महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formula)

▶️म०स०(H.C.F) × ल०स० (L.C.M) = दो संख्याओं का गुणनफल

▶️$\mathrm{म०स०(H.C.F)}=\frac{\mathrm{दो\; संख्याओं\; का\; गुणनफल}}{\mathrm{ल०स०\; (L.C.M)}}$

▶️$\mathrm{ल०स०\; (L.C.M)}=\frac{\mathrm{दो\; संख्याओं\; का\; गुणनफल}}{\mathrm{म०स०(H.C.F)}}$

▶️म०स० (H.C.F) × ल०स० (L.C.M) = पहली संख्या × दूसरी संख्या

▶️$\mathrm{म०स०(H.C.F)}=\frac{\mathrm{पहली\; संख्या\; \times \; दूसरी\; संख्या}}{\mathrm{ल०स०\; (L.C.M)}}$

▶️$\mathrm{ल०स०\; (L.C.M)}=\frac{\mathrm{पहली\; संख्या\; \times \; दूसरी\; संख्या}}{\mathrm{म०स०(H.C.F)}}$

▶️$\mathrm{पहली\; संख्या}=\frac{\mathrm{म०स०(H.C.F)\; \times \; ल०स०(L.C.M)}}{\mathrm{दूसरी\; संख्या}}$

▶️$\mathrm{दूसरी\; संख्या}=\frac{\mathrm{म०स०(H.C.F)\; \times \; ल०स०(L.C.M)}}{\mathrm{पहली\; संख्या}}$

⏩ लघु उत्तरीय प्रश्न जो मैट्रिक बोर्ड फाइनल परीक्षा में बार-बार पूछा जाता है

▶️ युक्लिड भाग लेमा या भाग एल्गोरिथ्म (Euclid’s division lemma or algorithm) का प्रयोग कर म०स० ज्ञात करना

1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 365 एवं 12450 का म०स० ज्ञात करें। [2023AI]
Ans – 5
2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 867 और 255 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें। [2017AI, 2021AI]
Ans – 51
3. यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 272 तथा 1032 का म०स० निकालें। [2020AI]
Ans- 8
4. यूक्लिड विभाजकता एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 1651 तथा ज्ञात करें। 2032 का म०स० ज्ञात करें। [2020AII]
Ans – 127
5. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 570 तथा निकालें। 1450 का म०स० निकालें। [2019AI]
Ans – 10
6. यूक्लिड विभाजकता प्रमेय का प्रयोग कर 963 तथा 657 का म०स० ज्ञात करें। [2019A]
Ans – 9
7. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म की मदद से 960 और 432 का महत्तम समापवर्तक निकालें। [2018A, 2022AII]
Ans – 48
8. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म की मदद से 870 और 225 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें। [2018AI]
Ans – 15
9. 336 और 59 का यूक्लिड विभाजन द्वारा HCF ज्ञात करें। [2017C]
Ans – 1
10. संख्याएँ 135 और 225 का H.C.F. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म तकनीक का प्रयोग करें।[2012A]
Ans – 45
11. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 148 एवं 185 का म०स० ज्ञात करें। [2024AII]
Ans – 37
12. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 252 एवं 594 का म०स० ज्ञात करें। [2024AI]
Ans – 18
13. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 504 एवं 1188 का म०स० ज्ञात करें। [2025AI]
Ans – 36
14. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 231 एवं 396 का म०स० ज्ञात करें। [2021AII]
Ans – 33
15. दो पात्रों में 504 लीटर और 735 लीटर दूध है। पात्र की महत्तम धारिता क्या होगी जो पात्रों के दूध को पूर्ण रूप से माप सके? [2015AI]
Ans- HCF(504, 735) = 21

⏩ लघु उत्तरीय प्रश्न जो मैट्रिक बोर्ड फाइनल परीक्षा में बार-बार पूछा जाता है

▶️ अभाज्य गुणनखण्ड विधि से म०स०(H.C.F) और ल०स०(L.C.M) निकालने पर आधारित प्रश्न

1. अभाज्य गुणनखंड द्वारा 24 और 36 का म०स० तथा ल०स० ज्ञात करें। [2023AII]
Ans- HCF(24, 36) = 12 , LCM(24, 36) = 72
2. अभाज्य गुणनखंड विधि से 96 और 404 का HCF और LCM ज्ञात करें। [2017AII]
Ans- HCF(96, 404) = 4 , LCM(24, 36) = 9696
3. अभाज्य गुणनखण्ड विधि से 8, 9 एवं 25 का म०स० और ल०स० ज्ञात करें। [2016AI]
Ans- HCF(8, 9, 25) = 1 , LCM(8, 9 , 25) = 1800
4. अभाज्य गुणनखंड विधि से 26 एवं 91 का ल॰स॰ और म०स० ज्ञात करें। [2016AII]
Ans- HCF(26, 91) = 13 , LCM(26, 91) = 182
5. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 6, 8 एवं 22 का म०स० और ल०स० ज्ञात कीजिए। [2014AI]
Ans- HCF(6, 8, 22) = 1 , LCM(6, 8 , 22) = 1800
6. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 9, 12 तथा 27 का म०स० और ल०स० ज्ञात कीजिए। [2014AI]
Ans- HCF(9, 12, 27) = 3 , LCM(9, 12 , 27) = 108
7. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 15, 12, 21 का म०स० और ल०स० ज्ञात करें। [2013A]
Ans- HCF(15, 12, 21) = 3 , LCM(15, 12 , 21) = 108
8. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 7, 11 एवं 19 का म०स० और ल०स० ज्ञात करें।[2011A]
Ans- HCF(7, 11, 19) = 1 , LCM(7, 11 , 19) = 1463
9. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का म०स० तथा ल०स० ज्ञात करें। [2011A]
Ans- HCF(96, 404) = 4 , LCM(96, 404) = 9696

⏩ लघु उत्तरीय प्रश्न जो मैट्रिक बोर्ड फाइनल परीक्षा में बार-बार पूछा जाता है

▶️ सूत्र पर आधारित प्रश्न

1. दो संख्याओं का म०स० 23 है तथा उनका ल॰स॰ 1449 है। यदि एक संख्या 161 है तो दूसरी संख्या ज्ञात करें। [2020AI]
Ans- 207
2. दो संख्याओं का म०स० 18 तथा उनका गुणनफल 12960 है तो उनका ल०स० ज्ञात करें। [2020AII]
Ans- 720
3. दो संख्याओं का म०स० 145 तथा उनका ल०स० 2175 है। यदि एक संख्या 725 है तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।[2019AI]
Ans- 435
4. दो संख्याओं का म०स० 13 तथा ल०स० 182 है। यदि उनमें से एक संख्या 26 है तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।[2019AII]
Ans- 91
5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 4ⁿ का मान अंक 0 पर समाप्त हो सकता है। [2019AII]

⏩ लघु उत्तरीय प्रश्न जो मैट्रिक बोर्ड फाइनल परीक्षा में बार-बार पूछा जाता है

▶️ अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखने पर आधारित प्रश्न

1. 140 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। [2013A]
Ans- 140 = 2² × 5 × 7
2. 800 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। [2024A]
Ans- 800 = 2⁵ × 5²
3. 240 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। [2022AII]
Ans- 240 = 2⁴ × 3 × 5
4. 156 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। [2019A]
Ans- 156 = 2² × 3 × 13
5. 5005 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। [2023AI]
Ans- 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

⏩ लघु उत्तरीय प्रश्न जो मैट्रिक बोर्ड फाइनल परीक्षा में बार-बार पूछा जाता है

▶️ अपरिमेय संख्या सिद्ध करने पर आधारित प्रश्न

1. सिद्ध करें कि $\sqrt{\mathbf{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2011A, 2017A, 2020AII, 2021AII]
2. सिद्ध करें कि 3$\sqrt{\mathbf{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2025AII]
3. सिद्ध करें कि $\sqrt{\mathbf{5}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2014A, 2015A, 2018A]
4. सिद्ध करें कि $\sqrt{\mathbf{7}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2014C]
5. सिद्ध करें कि 3 + $\sqrt{\mathbf{5}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2016A, 2020AII]
6. सिद्ध करें कि 3 + 2$\sqrt{\mathbf{5}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2012A, 2022AII]
7. सिद्ध करें कि 5 — $\sqrt{\mathbf{3}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2025A, 2019A]
8. सिद्ध करें कि 5 — 2$\sqrt{\mathbf{3}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2023AI]
9. सिद्ध करें कि 4 — $\sqrt{\mathbf{5}}$ एक अपरिमेय संख्या है [2016C]
10. सिद्ध करें कि (2 + $\sqrt{\mathbf{3}}$)² एक परिमेय संख्या नहीं है [2024AII]
11. सिद्ध करें कि ($\sqrt{\mathbf{2}}$ + 2)² एक परिमेय संख्या नहीं है [2024AI]