Class 10th गणित(Mathematics) में आने वाले फाइनल मैट्रिक बोर्ड परीक्षा के लिए समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression, A.P) अध्याय-5 के सभी वायरल और इंपोर्टेन्ट सूत्र(Formula), और टॉपिक वाइज सभी V.V.I सब्जेक्टिव प्रश्नों को शामिल किया गया है , ताकि किसी भी Students को फाइनल मैट्रिक बोर्ड परीक्षा में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression, A.P) , अध्याय-5 चैप्टर से एक भी प्रश्न नहीं छूटे अगर आप मैट्रिक बोर्ड परीक्षा में 400+ अंक प्राप्त करना कहते हैं , तो समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression, A.P) चैप्टर के सारे महत्वपूर्ण प्रश्नों को बार -बार practics जरूर करें!

⏩ अनुक्रम (Sequences):- अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जो किसी निश्चित नियम के अनुसार लिखे गये हैं              eg:- (a). 2, 4, 6, 8,……………                      (b). 1, 11, 111, 1111,……………..                      (c). 3, 9, 27, 81,………….   ⏩ श्रेणी (Progression):- यदि अनुक्रम के पदों को कुछ विशेष प्रतिबंधों के अधीन लिखा जाये, तो वह अनुक्रम श्रेणी (Progression) कहलाता है              eg:- (a). 2, 4, 6, 8,………….                      (b). 1, 11, 111, 1111,…………. श्रेणी के प्रकार (Types of progression)              1. समान्तर श्रेणी (Arithmetic progression, A.P)              2. गुणोत्तर श्रेणी (Geometric progression, G.P)              3. हरात्मक श्रेणी (Harmonic progression, H.P)   ⏩ समान्तर श्रेणी (Arithmetic progression, A.P):- एक समान्तर श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद के अतिरिक्त) अपने पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है समान्तर श्रेणी (Arithmetic progression, A.P) कहलाता है यह निश्चित संख्या A.P का सार्व अंतर (Common difference) कहलाती है eg:- (a). 2, 4, 6, 8,………. A.P में है a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 6, a₄ = 8   d₁ = a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2 d₂ = a₃ – a₂ = 6 – 4 = 2 d₃ = a₄ – a₃ = 8 – 6 = 2 here d₁ = d₂ = d₃ are equal सार्व अंतर को d से सूचित किया जाता है / d का मान धनात्मक (Positive), ऋनात्मक (Negative) या शून्य (Zero) हो सकता है: प्रथम पद (First term)= a₁ or a, Second terms=a₂, Third terms = a₃, nवाँ पद = aₙ समान्तर श्रेणी :- a₁, a₂, a₃, a₄,……………..,aₙ   d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =……………….= aₙ – aₙ₋₁                 इसलिए d = aₙ – aₙ₋₁ ⏩ A.P का व्यापक रूप (General form):-        a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……………, a + (n – 1)d First term(1st) ………………………….. a₁ = a Second terms(2nd) …………………. a₂ = a + d Third terms(3rd)  …………………….. a₃ = a + 2d Fourth terms(4th) …………………… a₄ = a + 3d ……….. ……………………………………………….. . ……….. ……………………………………………….. .…………………………. ……….. ………………………………………………… . …………………….. ……….. ………………………………………………… . …………………….. Tenth terms(10th) ……………………a₁₀ = a + 9d ……….. ……………………………………………….. . ……….. ……………………………………………….. . ……….. ……………………………………………….. . nthterms (nth) …………………………. aₙ = a + (n – 1)d Where:- aₙ or tₙ or l, nवाँ पद या अंतिम पद होता है a = प्रथम पद n = पदों की संख्या d = सार्व aₙ = a + (n – 1)d d – दो लागातार पदों का अंतर ⏩ A.P के प्रथम nपदों का योगफल निकालने का सूत्र Sₙ = {2a + (n – 1)d} Or  (a + aₙ)  Or  (a + l) Where:- a= प्रथम पद, aₙ= nवाँ पद, d= सर्वअंतर, Sₙ= nपदों का योग ⏩ प्रथम n धन पूर्णांकों का योगफल निकालने का सूत्र Sₙ = यदि a, b, c A.P में हैं तब b =  और b, a तथा c का समांतर माध्य कहलाता है ⏩ समांतर श्रेणी (AP)  में अंतिम पद से nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र          aₙ= l – (n –1)d

⏩ a, d, n और nवाँ पद निकालने पर आधरित प्रश्न 1. एक समांतर श्रेढ़ी जिसमें (a₂₁ – a₇) = 84 है, का सार्वअंतर ज्ञात करें। [2023AII] 2. यदि संख्याएँ (2n – 1), (3n + 2) तथा (6n – 1) समांतर श्रेढ़ी में हों तो संख्याएँ ज्ञात करें।[2023AII] 3. AP: 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,……… का प्रथम पद एवं सार्वअन्तर लिखें।[2017AI] 4. AP: 12, 17, 22, 27,……… का पहला पद एवं सार्वअन्तर लिखें।[2014AI] 5. दिए गए AP: 3, 13, 23,……. का पहला पद एवं सार्वअन्तर लिखें।[2014AI] 6. AP: 0, 7, 14, 21 का पहला पद एवं सार्वअन्तर लिखें।[2014C] 7. समांतर श्रेढ़ी में , , , ,…… के लिए प्रथम पद a तब सार्वअन्तर a लिखिए।[2011A] 8. किसी समांतर श्रेढ़ी का 8वाँ पद –23 है तथा 12वाँ पद –39 है, तो श्रेढ़ी के प्रथम एवं द्वितीय पद को निकालें।[2023AI] 9. समांतर श्रेढ़ी 13, 17, 21,……,89 का अंत से 7वाँ पद ज्ञात करें।[2023AI] 10. समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19,……. का कौन-सा पद 205 है?[2023AII] 11. यदि समांतर श्रेढ़ी का 7वाँ पद और 9वाँ पद है है 63वाँ पद का मान निकालें। [2020AII] 12. एक समांतर श्रेणी का चौथा पद 11 है । इसके पाँचवें तथा सातवें पदों का योग 34 है। इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए। [2020AI] 13. समांतर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका 5वाँ पद 15 तथा तीसरे और आठवें पदों का योग 34 है। [2019A] 14. समांतर श्रेणी 3, 10, 17, 24,……. का कौन-सा पद 13वें पद से 84 अधिक है?[2019A, 2022AII] 15. श्रेणी 2, 4, 6, 8,……. का कौन-सा पद 78 है । [2018A1] 16. समांतर श्रेणी 3, 8, 13, 18,……… का कौन-सा पद 78 है। [2016AI, 2016C, 2017AI, 2018] 17. AP: 9, 13, 17, 21,……. का 20वाँ पद ज्ञात करें। [2017A] 18. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 और 16वाँ पद 73 है।[2013A. 2013C,2017A] 19. A.P: 21, 18, 15,….. का कौन-सा पद –81 है।[2016AI, 2022AI] 20. A.P ज्ञात करें जिसका तीसरा पद 5 और 7वाँ पद 9 है।[20 6A] 21. AP: 10, 7, 4,…… में a = 10, d = 7 – 10 = –3,  a₃₀ = ? [2022AII] 22. समांतर श्रेणी 1, 4, 7, 10 ,……के 18वें पद का मान ज्ञात करें। [2022AI] 23. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?[2022AI] 24. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं?[2026AII] 25. समांतर श्रेढ़ी –40, –15, 10, 35,…….. का 10वाँ पद क्या होगा?[2022AII] 26. यदि किसी A.P. का तीसरा और नौवाँ पद क्रमशः 4 और –8 हैं तो इस A.P. का कौन-सा पद शून्य होगा?[2024AI]    27. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का तीसरा पद 4 और 9वाँ पद –8 हैं तो A.P. ज्ञात करें [2026AII] 28. क्या संख्याओं की सूची 5, 11, 17, 23,…… का कोई पद 301 है? जाँच करें।[2024AII] 29. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का 5वाँ पद एवं 9वाँ पद क्रमशः 43 एवं 79 हैं तो समांतर श्रेढ़ी ज्ञात करें।[2025AI] 30. समांतर श्रेढ़ी 63, 65, 67,…… और 3, 10, i7,….. के nवाँ पद समान हैं, तो n का मान ज्ञात करें।[2025AII] 31. समांतर श्रेढ़ी 6, 10, 14, 18,……….174 कुल कितने पद है :-[2026AI] 32. किसी समांतर श्रेढ़ी का 8वाँ पद –23 है तथा 12वाँ पद –39 है:-[2026AII] 1 से 32 तक के प्रश्नों का उत्तर 01. d = 6 02. n =3 , A.P: 5, 11, 17 03. a = 0.6 , d = 1.1 04. a = 12 , d = 5 05. a = 3 , d = 10 06. a = 0 , d = 7 07. a = , d = –1 08. a = 5 , a₂ = 1 09. 65 10. n = 34 11. 63वाँ पद = 12. d = 3 13. –1 , 3 , 7, 11, 15 14. n = 25 15. n = 39 16. n = 16 17. 20वाँ पद = 85 18. 31वाँ पद = 178 19. n =35 20. A.P = 3, 4, 5, 6,……. 21. 30वाँ पद = –77 22. 18वाँ पद = 52 23. n = 128 24. n = 18 25. 10वाँ पद = 185 26. n = 5 27. A.P = 8 , 6 , 4 , 2 , 0 , –2,….. 28. No 29. A.P = 7 , 16 , 25 , 34 ,……. 30. n = 13 31. n = 43 32. A.P = 5 , 1 , –3 , –7 , –11,…….. ⏩ पदों का योगफल निकालने पर आधारित प्रश्न   1. समांतर श्रेढ़ी , , ,…… का 19 पदों तक का योगफल ज्ञात करें।[2023AI] 2. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योगफल निकालें।[2023AI] 3. 5 + 9+ 13 +17 +…….. + 81 का योगफल ज्ञात करें। [2023AII] 4. एक A.P. में a = 5, d = 3 और aₙ = 50 है, तो n और S ज्ञात करें।[2016AI] 5. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए। [2016C, 2024AII] 6. समांतर श्रेणी 8, 3, –2,…… में प्रथम 22 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।[2011A, 2022AII] 7. 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योगफल निकालें।[2022AII] 8. यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है तथा इसका प्रथ्म पद 10 है तो 20वाँ पद ज्ञात करें।[2024AI] 9. यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है तथा इसका प्रथ्म पद 10 है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात करें।[2026AII] 10. उस A.P: के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात करें जिसमें सार्व-अंतर 7 है और । 22वाँ पद 149 है।[2024AI] 11. A.P:  9, 17, 25,……. के 10 पदों का योग ज्ञात करें।[2024AII] 12. 3 + 11 + 19 +……. + 67 का योगफल ज्ञात करें।[2025AI] 13. (–5) + (–8) + (–11) +……. + (–230) का योगफल ज्ञात करें।[2025 AII] 14. यदि समांतर श्रेढ़ी  के तीन क्रमागत पदों का योगफल 15 तथा गुणनफल 105 हो तो उन पदों को ज्ञात करें:-[2026AI] 15. समांतर श्रेढ़ी 8, 3, –2, –7,…….. के प्रथम 12 पदों का योगफल ज्ञात करें :-[2026AII] 1 से 15 तक के प्रश्नों का उत्तर 01. योगफल = 0 02. योगफल = 625 03. योगफल = 860 04. n = 16 , S = 440 05. योगफल = 960 06. योगफल = 979 07. योगफल = 4920 08. 30वाँ पद = 200 09. d = 10 10. योगफल = 1661 11. योगफल = 450 12. योगफल = 315 13. योगफल = – 8930 14. 3 , 5 , 7 15. योगफल = – 234

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