| ⏩ इस अध्याय में हम त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग द्वारा भवनों (खंभों दीवारों आदि) की ऊँचाई और किसी बिंदु से दूरी निकालना सीखेंगे इसके लिए कुछ महत्वपूर्ण टॉपिक को समझना जरूरी है ▶️ क्षैतिज तल(Horizontal Plane) – पृथ्वी तल के समानांतर खींचे गए तल को क्षैतिज तल(Horizontal Plane) कहते हैं ▶️ क्षैतिज रेखा(Horizontal Line) – क्षैतिज तल के समानांतर खींची गई सरल रेखा को क्षैतिज रेखा(Horizontal Line) कहते हैं ▶️ दृष्टि रेखा(Line of Sight) – किसी दर्शक की आँखों और देखी जाने वाली वस्तु को मिलने वाली रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं ▶️ उन्नयन कोण(Angle of elevation) – जब वस्तु दर्शक से ऊपर हो, तब दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच के कोण को उन्नयन कोण(Angle of elevation) कहते हैं  अवनमन कोण(Angle of Depression) – दर्शक के आँख से जब वस्तु नीचे हो, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच के कोण को अवनमन कोण(Angle of Depression) कहते हैं  इस अध्याय में प्रयोग होने वाले सभी महत्वपूर्ण सूत्र  (01). sinθ =  =  (02). cosθ =  =  (03). tanθ =  =  (04). cosecθ =  =  (05). secθ =  =  (06). cotθ =  =  |
| ∠θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | 0 |  |  |  | 1 |
| cosθ | 1 | | | | 0 |
| tanθ | 0 |  | 1 |  | अपरिभाषित |
| cosecθ | अपरिभाषित | 2 |  |  | 1 |
| secθ | 1 | | | 2 | अपरिभाषित |
| cotθ | अपरिभाषित | | 1 | | 0 |
| ⏩ लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions) 01. भूमि के एक बिन्दु से जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 मीटर की दूरी पर है, भीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।[2022AI, 2024AII] 02. यदि 12m ऊँचे खंभे की छाया भूमि पर 4  m लंबी बनती है तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा?[2023AI]03. एक 15 मीटर लंबी सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है। दीवार पर उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात करें जहाँ सीदी दीवार को स्पर्श करती है। [2024AI] 04. एक 7 मी लंबी सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है। दीवार पर उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात करें जहाँ सीढ़ी दीवार को स्पर्श करती है। [2025AI] 05. एक 20 मी लंबी सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है। दीवार पर उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात करें जहाँ सीढ़ी दीवार को स्पर्श करती है। [2025AII] 06. यदि किसी खम्भे की छाया की लम्बाई उसकी ऊँचाई के गुनी के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करें।[2026AI] ⏩ दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions) 01. 100m ऊँचे एक भवन के शीर्ष से किसी ध्वजदण्ड के शीर्ष एवं आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° एवं 60° है तो ध्वजदण्ड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2011C] 02. एक सड़क 50 मी ऊँची मीनार के आधार तक सीधी जाती है। मीनार की चोटी से सड़क पर खड़ी दो कारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। दोनों कारों के बीच की दूरी ज्ञात करें।[2012A] 03. भूमि पर एक बिंदु से एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ओर 30 मी० चलने के बाद उन्नयन कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2012C] 04. भूमि के एक बिंदु से एक 20m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° है। संचार मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2013A] 05. भूमि के एक बिंदु से जो मीनार के पाद बिंदु से 40 मीटर की दूरी पर है तथा मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2014AI] 06. 1.4 मीटर लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 27.5 मी० की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई बताइए। [2014AI] 07. 1.3 मीटर लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.6 मीटर की दूरी पर है, जिसकी आँख से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। चिमनी की ऊँचाई बताइए। [2014AII] 08. भूमि के एक बिंदु से जो मीनार के पाद बिंदु से 50 m की दूरी पर है तथा मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2014AII] 09. एक पतंग और धरती पर के एक बिंदु के बीच डोरी की लंबाई 90 मीटर है। यदि डोरी जमीन से  कोण इस प्रकार बनाती है कि tan =  तो पतंग की ऊँचाई निकालें। [2015AI]10. मीनार के आधार से एक सरल रेखा में 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण, पूरक कोण हैं, तो सिद्ध करें की मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है। [2011A, 2015AI, 2015AII , 2024AII] 11. भूमि के एक बिंदु से एक 10m ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और से ध्वजखंड के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ध्वजखंड की लंबाई और बिंदु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। ( = 1.73 लीजिए ) [2015C, 2026AII]12. एक मीनार पर 10 मीटर ऊँचा झंडा खड़ा है। जमीन पर स्थित एक बिन्दु से झंडे के पाद और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 30° तथा 60° हैं, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें। [2016AI] 13. एक ऊर्ध्वाधर मीनार 5 मीटर ऊँची झंडे की चोटी पर समकोण बनाती है। यदि उनके बीच की दूरी 12 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें। [2016AI] 14. एक मीनार के पाद से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है तो भवन की ऊँचाई निकालें। [2024AI, 2015AII, 2016AI] 15. एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लंबी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नयन कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2017AII] 16. एक मीनार की चोटी पर बैठा आदमी पाता है कि उसके ठीक दायें और बायें जमीन पर दो कारों का अवनमन कोण 30° और 45° है । यदि मीनार की ऊँचाई 100 मीटर हो तो दोनों कारों के बीच की दूरी बतावें। ( = 1.73 लीजिए ) [2017AI]17. आँधी से एक पेड़ टूटकर पेड़ का शिखर जमीन को छूता है और भूमि के साथ 30° के कोण बनाता है। पेड़ का शिखर पाद से 8m की दूरी पर जमीन को स्पर्श करता है। तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करें। [2013A. 2017AI] 18. 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केवल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2013C, 2018AI] 19. नदी के एक किनारे पर खड़े आदमी को दूसरे सिरे पर खड़े पेड़ का उन्नयन कोण 60° दिखता है। जब आदमी किनारे से 40 मीटर दूर चलता है, तो उन्नयन कोण 30° हो जाता है। नदी की चौड़ाई ज्ञात करें। [2018AII] 20. किसी मीनार के आधार से पहाड़ी की चोटी का उन्नयन कोण 60° है और पहाड़ी के आधार से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर हो, तो पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात करें। [2012A, 2019AII] 21. समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाऊस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाऊस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। [2019AI] 22. एक बहुमंजिला भवन के शिखर से देखने पर एक 8m ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं । बहुमंजिला भवन की ऊँचाई और दोनों भवनों के बीच की दूरी ज्ञात करें। [2011A, 2015AII , 2020AII] 23. एक 60 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए। [2020AI] 24. भूमि के एक बिन्दु O से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° एवं मीनार के शिखर पर के ध्वज दंड के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि ध्वज दंड की लंबाई 5m है, तो मीनार की ऊँचाई बताएँ । [2021AI] 25. समुद्र तल से 95m ऊँची प्रकाश गृह के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि प्रकाश गृह के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात करें। [2021AII] 26. एक ऊर्ध्वाधर झंडा स्तम्भ तथा एक 50 मीटर ऊँची मीनार एक ही क्षैतिज तल पर स्थित है। मीनार के शीर्ष से स्तम्भ के ऊपर तथा निचले सिरे के अवनमन कोण क्रमशः 30° तथा 45° हैं, तो झंडा स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात करें। [2016AII, 2022AI] 27. दो जहाज विपरीत दिशा से एक लाईटहाउस की तरफ बढ़ रही हैं दोनों जहाजों का अवनमन कोण लाईटहाउस के शीर्ष से 60° एवं 45° हैं। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 100 मीटर है तो लाईटहाउस की ऊँचाई ज्ञात करें।[2022AII] 28. समान ऊँचाई के दो खंभे 80 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर एक दूसरे के सम्मुख हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के किसी बिन्दु P पर एक खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है तथा दूसरे खंभे के शीर्ष से बिन्दु P का अवनमन कोण 30° है। खंभों की ऊँचाइयाँ तथा बिन्दु की खंभों से दूरियाँ ज्ञात करें। [2019AI, 2023AII] 29. नदी के किनारे एक आदमी खड़ा है। दूसरे किनारे पर ठीक उसके सामने एक वृक्ष है, जिसका शिखर इस स्थान से 60° कोण बनाता है। जब वह आदमी पीछे की ओर 16m हट जाता है तो वृक्ष 45° का कोण बनाता है। वृक्ष की ऊँचाई निकालें। [2023AI] 30. किसी भवन के शिखर का उन्नयन कोण मीनार के पाद से 30° है तथा मीनार के शिखर का उन्नयन कोण भवन के पाद से 60° है। यदि मीनार की ऊँचाई 60 मी हो तो भवन की ऊँचाई ज्ञात करें[2026AI] |
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