⏩बहुपद(Polynomial)

बहुपद(Polynomial):- aₒ + a₁𝑥 + a₂𝑥² +……… +aₙ𝑥ⁿ के रूप का कोई बीजीय व्यंजक बहुपद (Polynomial) कहलाता है:-
where:- aₒ, a₁, a₂,………,aₙ वास्तविक संख्याएँ (Real numbers) हैं और aₙ ≠ 0 तथा n एक अऋणात्मक पूर्णांक (Positive integer) है:-
aₒ, a₁, a₂,………,aₙ को बहुपद का गुणांक (Coefficients) कहते हैं और 𝑥 के उच्चतम घात (Highest power) n को बहुपद का घात (Power, or Index, or Degree) कहते हैं:-

⏩बहुपद का मानक रूप (Standard form of a polynomial):-

𝑥 में बहुपद को मानक रूप कहा जाता है यदि 𝑥 के घात या तो आरोही क्रम या अवरोही क्रम (Increasing order or Decreasing order) में हों :-

⏩बहुपद के प्रकार (Types of polynomial):-

1. एकपदी बहुपद (Monomial polynomial):-जिस बहुपद में एक ही पद रहता है एकपदी बहुपद (Monomial polynomial) उसे कहते हैं:-
2. द्विपदी बहुपद (Binomial polynomial):-दो पद वाले बहुपद को द्विपदी बहुपद (Binomial polynomial) कहते हैं:-
3. त्रिपदी बहुपद (Trinomial polynomial):-तीन पदों वाले बहुपद को त्रिपदी बहुपद (Trinomial polynomial) कहते हैं:-
4. शून्य बहुपद (Zero polynomial): जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य होते हैं उसे शून्य बहुपद (Zero polynomial) कहा जाता है, P(𝑥) = 0, घात अपरिभाषित होता है:-
5. अचर बहुपद (Constant polynomial):-जिस बहुपद में सिर्फ एक ही पद हो और जो किसी वास्तविक संख्या (Real number) के बराबर हो, उसे अचर बहुपद (Constant polynomial) कहते हैं:-

⏩बहुपद का घात (Power/Degree of Polynomial)

1. रैखिक (एक घातीय) बहुपद (Linear Polynomial): जिस बहुपद का अधिकतम घात 1 हो रैखिक (एक घातीय) बहुपद (Linear Polynomial) कहलाता है ।
▶️ व्यापक रूप:- a𝑥 + b, a ≠ 0
▶️ हलों की संख्या = 1
▶️ अधिकतम घात = 1
2. द्विघात (द्विघातीय) बहुपद(Quadratic Polynomial)-: जिस बहुपद का अधिकतम घात 2 हो उसे द्विघात (द्विघातीय) बहुपद (Quadratic Polynomial) कहते हैं ।
▶️ व्यापक रूप: a𝑥² + b𝑥 + c , a ≠ 0
▶️ हलों की संख्या = 2
▶️ अधिकतम घात = 2
3. त्रिघात/त्रिघातीय बहुपद(Cubic Polynomial)-: जिस बहुपद का अधिकत्म घात तीन (3) हो उसे त्रिघात/त्रिघातीय बहुपद (Cubic Polynomial) कहते हैं :-
▶️ व्यापक रूप:- a𝑥³ + b𝑥² + c𝑥 + d , a ≠ 0
▶️ हलों की संख्या = 3
▶️ अधिकतम घात = 3

⏩बहुपद का मान (Value of polynomial):-

बहुपद का मान (Value of polynomial):- मान लिया कि P(𝑥), 𝑥 में एक बहुपद है और एक a वास्तविक संख्या (Real number) है:-
• तब P(𝑥) में 𝑥 के स्थान पर a रखने से बहुपद का जो मान प्राप्त होता है, उसे 𝑥 = a पर बहुपद का मान कहते हैं और इसे P(a) से व्यक्त करते हैं और इसका गुणनखंड (𝑥– a) होगा :-
• तब P(𝑥) में 𝑥 के स्थान पर –a रखने से बहुपद का जो मान प्राप्त होता है, उसे 𝑥 = –a पर बहुपद का मान कहते हैं और इसे P(–a) से व्यक्त करते हैं और इसका गुणनखंड (𝑥 + a) होगा :-
• बहुपद के शुन्य या शुन्यक (Zero of a polynomial):-संख्या “a” बहुपद का शून्य कहलाता है यदि P(𝑥) = 0 अर्थात यदि बहुपद P(𝑥) का मान 𝑥 = a पर शून्य है:-

⏩Note:-

(i) रैखिक बहुपद में अधिकतम शुन्यकों की संख्या 1 होगी
(ii) द्विघात बहुपद में अधिकतम शुन्यकों की संख्या 2 होगी
(iii) त्रिघात बहुपद में अधिकतम शुन्यकों की संख्या 3 होगी

⏩द्विघात बहुपद और त्रिघात बहुपद के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र

⏩द्विघात बहुपद के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र

▶️ व्यापक रूप: a𝑥² + b𝑥 + c , a ≠ 0
▶️ $\mathrm{मूलों\; का\; योगफल\; (\alpha \; +\; \beta )}=\frac{\mathrm{—b}}{\mathrm{a}}$
▶️ $\mathrm{मूलों\; का\; गुणनफल\; (\alpha ·\beta )}=\frac{c}{\mathrm{a}}$
▶️ द्विघात बहुपद = k[𝑥² – (α + β)𝑥 + α·β]

⏩त्रिघात बहुपद के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र

▶️ व्यापक रूप:- a𝑥³ + b𝑥² + c𝑥 + d , a ≠ 0
▶️ $\mathrm{मूलों\; का\; योग\; (\alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma )}=\frac{\mathrm{—b}}{\mathrm{a}}$
▶️ $\mathrm{दो-दो\; कर\; गुणनफल\; के\; मूलों\; का\; योग(\alpha ·\beta \; +\; \beta ·\gamma +\; \gamma \alpha )}=\frac{c}{\mathrm{a}}$
▶️ $\mathrm{मूलों\; का\; गुणनफल(\alpha ·\beta ·\gamma )}=\frac{\mathrm{—d}}{\mathrm{a}}$
▶️ त्रिघात बहुपद = 𝑥³ — (α + β + γ)𝑥² + (α·β + β·γ + γ·α)𝑥 — αβγ

⏩Some Important Algebric Formula:-

▶️ a² + b² = (a + b)² — 2ab
▶️ a² + b² = (a — b)² + 2ab
▶️ (a + b)² or (a + b)(a + b) = a² + b² + 2ab
▶️ (a — b)² or (a — b)(a — b) = a² + b² — 2ab
▶️ a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)
▶️ a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)